几何学是一个源自希腊语的学科，最初由“地”与“测量”合并而来，意为测地术，发展至今内涵十分丰富。
一、初等几何
现今的初等几何主要以欧几里得几何为主，它探讨的是图形（点、线、面、角、圆等）在运动下的不变性质。
例如，欧氏几何中两点之间的距离、两条直线相交的交角大小，以及半径为r的圆的面积等都是运动不变量。
从历史发展角度看，几何学先于代数得到了发展，主要为古希腊人的贡献。几何学舍弃了物质的所有其他性质，只保留了空间形式和关系作为研究对象，因此它是抽象的。这种抽象性决定了几何的思维方式——必须使用推理方法，从已知结论推导出未知结论。著名的《原本》就是典型的论证几何学代表作，它基于定义和，演绎出各种几何定理。
虽然中学阶段的《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才完善起来的，但其基本概念早在古代研究直角三角形时就已经形成，因此可以将三角学纳入初等几何的范畴。
古代埃及、巴比伦、、希腊都有研究球面三角的知识。公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角学的创始人。后来，印度人制作了正弦表，的阿尔?巴塔尼用计算sinθ值的方法解方程，他还与阿布尔?沃法共同定义了正切、余切、正割、余割等概念。由于直角三角形是最简单的直线形，且具有实用价值，因此各文明古国都重视其研究。
二、射影几何
射影几何学讨论的是当点射影到直线或平面时，图形的不变性质。例如，幻灯片上的点、线经过幻灯机的照射投影，在银幕上的图画中都有相对应的点线，这在数学上称为射影对应。射影几何学在航空、摄影和测量等领域都有广泛应用。
射影几何的研究可以追溯到迪沙格和帕斯卡的时代。迪沙格发表了一本关于圆维曲线的小册子，从此开启了射影几何的研究。年仅16岁的帕斯卡也得出了深奥的定理。18世纪后期，蒙日提出了二维平面上的适当投影表达三维对象的方法，从而避免了繁琐的算术运算。真正独立研究射影几何的是彭赛勒，他的许多概念被斯坦纳进一步发展。后来证明采用适当的射影定义可以在射影几何的范围内研究度量几何学。逐步增添和改变公设就能从射影几何过渡到欧几里得几何。
三、解析几何
解析几何即坐标几何，包括平面解析几何和立体解析几何两部分。它通过平面直角坐标系和空间直角坐标系建立点与实数对之间的一一对应关系，从而建立起曲线或曲面与方程之间的一一对应关系。因此可以用代数方法研究几何问题，也可以用几何方法研究代数问题。在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；但在方法上，解析几何的建立不仅引入了变量的研究开创了变量数学，还结合了几何方法和代数方法。笛卡尔和费尔马开创了射影几何的同时也开始构思现代解析几何的概念这两项研究存在根本区别：前者是几何学的一个分支后者是几何学的一种方法。迪沙格和帕斯卡的工作与解析几何的确立密不可分他们为解析几何的建立提供了理论基础和研究方法上的启示而笛卡尔的成果最终确立了现代解析几何学的基本形式及方法论原则成为现代解析几何学创立的标志之一莱布尼兹提出的坐标术语等逐步推进了解析几何的发展使其逐渐成熟并形成了现代的形式和内容丰富的体系。解析几何的发展也产生了无穷维解析几何和代数几何等分支普通解析几何只是代数几何的一部分而代数几何的发展则与抽象代数有着密切的联系。非欧几何的出现和发展是非欧几何历史上的重要里程碑事件它不仅解决了平行公设的问题还开创了不同体系的几何的道路随着几何学概念的不断发展拓扑学逐渐成为了几何学的一个重要分支它开始是几何学的一个分支但在二十世纪得到了极大的推广并且成功地应用于电磁学和物理学的研究中成为数学的基础理论之一并逐渐渗透到各个分支中发挥着重要的作用。总的来说几何学是一个充满活力和挑战的领域它不断地发展和演变着新的理论和方法不断地推动着人类文明的进步和发展。
